O înălțime, două triunghiuri · Cristina Ungureanu

Problema

În triunghiul isoscel $ABC$ , avem $AB = AC = 13\,\text{cm}$ și $BC = 10\,\text{cm}$ . Determinați înălțimea corespunzătoare bazei și aria triunghiului.

Figura 1. Înălțimea din vârf împarte baza în două segmente egale.

De la idee la soluție

Încearcă mai întâi singur. Indiciile și rezolvarea sunt aici când ai nevoie de ele.

Indiciul 1 O proprietate utilă

Într-un triunghi isoscel, înălțimea corespunzătoare bazei este și mediană. Așadar, $BD = DC = 5\,\text{cm}$ .

Indiciul 2 Un triunghi dreptunghic

Aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABD$ . Cunoști ipotenuza $AB$ și cateta $BD$ .

Rezolvarea Pas cu pas

Construim înălțimea

Notăm cu $D$ piciorul perpendicularei din $A$ pe $BC$ . Deoarece $AB = AC$ , punctul $D$ este mijlocul bazei, deci $BD = 5\,\text{cm}$ .

Aplicăm teorema lui Pitagora

În triunghiul dreptunghic $ABD$ :

\begin{aligned} AD^2 &= AB^2 - BD^2 \\ &= 13^2 - 5^2 = 144. \end{aligned}

Rezultă că înălțimea $AD = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}$ .

Calculăm aria

Înmulțim lungimea bazei cu înălțimea și împărțim la doi:

\mathcal{A}_{ABC} = \frac{BC \cdot AD}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60\,\text{cm}^2.

O linie ajutătoare a transformat problema într-un calcul într-un triunghi dreptunghic.